Geometric vs Arithmetic Mean

Quick Reference

Arithmetic mean = media semplice. Geometric mean = rendimento composto effettivo. Kelly criterion massimizza geometric mean.

Definizioni

Arithmetic Mean (Media Aritmetica)

Formula: (r1 + r2 + ... + rN) / N

Esempio: Rendimenti +10%, -5%, +15% - Arithmetic mean = (10 - 5 + 15) / 3 = 6.67%

Geometric Mean (Media Geometrica)

Formula: [(1+r1) × (1+r2) × ... × (1+rN)]^(1/N) - 1

Stesso esempio: +10%, -5%, +15% - Geometric mean = [(1.10) × (0.95) × (1.15)]^(1/3) - 1 - = [1.2018]^0.333 - 1 - = 6.31%

Perche la Differenza?

Geometric mean sempre ≤ Arithmetic mean (uguali solo se zero volatilita)

Motivo: Compounding asymmetry - Perdere 50% richiede +100% per recuperare - Vincere 100% seguito da -50% → net zero (non +50%!)

Esempio Drammatico

Anno 1: +100% (raddoppio) Anno 2: -50% (dimezza)

Arithmetic mean: (100% - 50%) / 2 = +25% medio Geometric mean: [(2.0) × (0.5)]^0.5 - 1 = 0% (!!)

Capitale: $100 → $200 → $100 (net zero)

Leverage e Compounding

Esempio: Strategy con +5%, -10%, +20% per 3 anni

Leverage	Arithmetic Mean	Geometric Mean	Final Value
1×	+5.0%	+4.3%	$1,134
2×	+10.0%	+5.1%	$1,163
3×	+15.0%	+4.5%	$1,143
5×	+25.0%	-2.1%	$943

Arithmetic mean cresce linearmente, ma geometric mean (rendimento reale) peggiora con leverage eccessivo!

Kelly Criterion Connection

Kelly massimizza geometric mean, non arithmetic mean.

Perche: Nei trading multi-periodo, cio che conta e crescita composta (geometric), non media semplice.

Formula Kelly: - Optimal volatility target = Sharpe Ratio - Massimizza: E[log(1 + return)] - Equivale a massimizzare geometric mean

Volatility Drag

Differenza tra arithmetic e geometric mean = volatility drag

Approssimazione: Geometric mean ≈ Arithmetic mean - (σ² / 2)

Esempio: - Arithmetic mean = 10% - Volatilita = 20% - Geometric mean ≈ 10% - (20%² / 2) = 10% - 2% = 8%

Piu alta la volatilita, maggiore il drag!

Implicazioni Pratiche

Per Backtest

Sempre riportare geometric mean (o CAGR: Compound Annual Growth Rate), non arithmetic.

Arithmetic mean e ingannevole - sovrastima rendimenti realizzabili.

Per Leverage

Too much leverage aumenta volatility drag esponenzialmente.

Target volatilita 200% (leverage ~10×): - Volatility drag ≈ 200%² / 2 = 20,000 bps = 200% - Anche con 200% arithmetic return, geometric ≈ 0%!

Per Compounding

$100,000 investiti per 10 anni:

Arithmetic 10%, σ 20%: - Aspettativa naive: $100k × (1.10)^10 = $259k - Realta (geometric 8%): $100k × (1.08)^10 = $216k - Differenza: $43,000 persi al volatility drag

Formula Relazione

Con rendimenti normalmente distribuiti:

Geometric mean = Arithmetic mean - (σ² / 2)

Dove σ = volatilita (standard deviation)

O equivalentemente:

Arithmetic mean = Geometric mean + (σ² / 2)

Sharpe Ratio Relationship

Geometric Mean ≈ SR × σ - (σ² / 2)

Dove SR = Sharpe Ratio, σ = volatilita target

Massimizzando rispetto a σ: - d/dσ [SR × σ - σ²/2] = 0 - SR - σ = 0 - σ optimal = SR (Kelly criterion!)

Quando Usare Quale?

Arithmetic Mean: - Stimare expected return di singolo periodo - Calcolare Sharpe Ratio (numeratore) - Forward-looking expectations

Geometric Mean: - Performance storica multi-periodo - Calcolare compound growth effettivo - Confrontare strategie (cio che conta davvero) - Sempre per decisioni di leverage

Errori Comuni

• Usare arithmetic per compounding: "10% medio × 10 anni = 100% guadagno" (FALSO)
• Ignorare volatility drag: Pensare che piu leverage = linearmente piu return
• Confrontare strategie con arithmetic: Strategia high-vol sembra meglio di quanto sia
• Backtest con arithmetic mean: Drammaticamente sovrastima performance realizzabile

Concetti Correlati

• [[Kelly Criterion]] - massimizza geometric mean
• [[Volatility Targeting]] - gestisce volatility drag
• [[Sharpe Ratio]] - usa arithmetic mean nel calcolo
• [[Compounding]] - geometric mean e il vero compound rate